SUTRA 13-16

🔷 Sutre 13–16: Ciklični brojevi, množenje sa 9, provera rešenja

Poslednje četiri sutre bave se naprednim obrascima – beskonačnim decimalnim ciklusima, množenjem sa 9, 99, 999… i metodama za proveru tačnosti rešenja.

13. Sopaantyadvayamantyam — Krajnji i dvostruko krajnji

Primena: Pronalaženje periodičnih decimalnih prikaza razlomaka (npr. 1/7, 1/13). Ova sutra otkriva ciklične brojeve.

📐 Primer 1: 1/7

1/7 = 0.142857 142857… (ciklus od 6 cifara).
Obrazac: 142857 × 2 = 285714, ×3 = 428571, itd. – iste cifre se okreću.

📐 Primer 2: 1/13

1/13 = 0.076923 076923… (ciklus od 6 cifara: 076923)

📐 Primer 3: 1/17

1/17 = 0.0588235294117647 (ciklus od 16 cifara)
✍️ Vežbe (nastavi ciklus):
1. 2/7 = ? (počinje od 285714)
2. 3/7 = ?
3. 4/7 = ?
4. 5/7 = ?
5. 6/7 = ?
6. 2/13 = ? (počinje od 153846)
7. 3/13 = ?
8. 1/19 = ? (ciklus od 18 cifara – istraži)
9. 1/17 ima 16 cifara – napiši prvih 8
10. 1/73 (napredno)

14. Ekanyūnena Pūrvena — Jedan manje od prethodnog

Primena: Množenje brojeva sa 9, 99, 999… Neverovatno brz način.

📐 Primer 1: 9 × 6

6 – 1 = 5 (prethodni), 9 – 5 = 4 → 54

📐 Primer 2: 99 × 47

47 – 1 = 46, zatim 99 – 46 = 53 → 4653

📐 Primer 3: 999 × 123

123 – 1 = 122, zatim 999 – 122 = 877 → 122877

📐 Primer 4: 9999 × 1

1 – 1 = 0, 9999 – 0 = 9999 → 09999? Zapravo 9999×1=9999, ali ova metoda daje 09999 (što je isto). Za jednocifrene brojeve dodaje se vodeća nula.
✍️ Vežbe (množenje sa 9, 99, 999):
1. 9 × 8
2. 9 × 12
3. 99 × 35
4. 99 × 72
5. 999 × 234
6. 999 × 456
7. 9999 × 5678
8. 99 × 99
9. 999 × 999
10. 9 × 12345

15. Guṇitasamuccayaḥ — Proizvod zbira

Primena: Provera da li je faktorizacija tačna. Zbir koeficijenata polinoma i njegovih faktora mora biti u određenom odnosu.

📐 Primer 1: Provera (x+2)(x+3) = x²+5x+6

Zbir koeficijenata leve strane (sa x=1): (1+2)(1+3) = 3×4 = 12
Zbir koeficijenata desne strane (sa x=1): 1+5+6 = 12 → provera tačna.

📐 Primer 2: (2x+3)(x-1) = 2x² + x – 3

Leva (x=1): (2+3)(1-1) = 5×0 = 0
Desna (x=1): 2+1-3 = 0 → tačno.
✍️ Vežbe (proveri da li je faktorizacija tačna):
1. (x+1)(x+4) = x²+5x+4
2. (x+2)(x+5) = x²+7x+10
3. (2x+1)(x+3) = 2x²+7x+3
4. (x-2)(x+2) = x²-4
5. (3x-1)(x+2) = 3x²+5x-2
6. (x+3)(x-3) = x²-9
7. (x+1)(x-1) = x²-1
8. (2x-3)(x+4) = 2x²+5x-12
9. (x+5)(x+5) = x²+10x+25
10. (x+7)(x-2) = x²+5x-14

16. Guṇakasamuccayaḥ — Zbir činilaca

Primena: Druga provera faktorizacije. Zbir koeficijenata faktora (kada se izjednače sa nulom) daje zbir korena.

📐 Primer 1: x²+5x+6 = (x+2)(x+3)

Zbir korena (činilaca) sa znakom minus: (-2) + (-3) = -5, što je koeficijent uz x (sa suprotnim znakom).
Zbir činilaca (bez znaka) = 2+3 = 5, što odgovara.

📐 Primer 2: 2x²+7x+3 = (2x+1)(x+3)

Ovo je naprednije – sutra se koristi za proveru kod moničnih polinoma.
✍️ Vežbe (odredi zbir korena):
1. x²+6x+8
2. x²+9x+20
3. x²-7x+12
4. x²-3x-10
5. x²+4x-21
6. 2x²+8x+6 (podeli prvo sa 2)
7. 3x²-12x+9
8. x²-5x+6
9. x²+2x-15
10. x²-4x+4

🔓 Rešenja vežbi za Sutre 13–16

Sutra 13: 1.0.285714, 2.0.428571, 3.0.571428, 4.0.714285, 5.0.857142, 6.0.153846, 7.0.230769, 8.0.052631578947368421, 9.0.05882352, 10. (istražiti)

Sutra 14: 1.72, 2.108, 3.3465, 4.7128, 5.233766, 6.455544, 7.56765432, 8.9801, 9.998001, 10.111105

Sutra 15: Sve su tačne (proveri zbir koeficijenata sa x=1).

Sutra 16 (zbir korena sa suprotnim znakom = koeficijent uz x): 1.-6, 2.-9, 3.7, 4.3, 5.-4, 6.-4, 7.4, 8.5, 9.-2, 10.4

⬅ Povratak na početak