🔷 Sutre 5–8: Jednačine, proporcije, sabiranje/oduzimanje i dopunjavanje
Ove četiri sutre uvode vas u svet rešavanja jednačina bez dugog pisanja, prepoznavanje proporcija, tehnike sabiranja i oduzimanja i “dopunjavanje” do okruglih brojeva.
5. Śūnyam Samuccaya — Kada je zbir jednak, taj zbir je nula
Primena: Rešavanje linearnih i kvadratnih jednačina. Ako se isti izraz pojavljuje kao sabirak u brojiocu i imeniocu ili na obe strane jednačine – taj izraz izjednačavamo sa nulom.
📐 Primer 1: Linearna jednačina
Vedska metoda: Pošto je (2x+3) isti na obe strane, izjednačavamo ga sa 0:
2x + 3 = 0 → x = -3/2
Provera: 2(-1.5)+3 = 0 → leva strana = 0, desna = 0 → tačno.
📐 Primer 2: Kvadratna jednačina
Zajednički faktor (x+1) → x+1 = 0 → x = -1
📐 Primer 3: Razlomci sa zbirom
Dovodimo na zajednički imenilac, ali vedski pristup: Ako je zbir dva recipročna izraza nula, onda je svaki od njih nula? Ne baš. Ovde je potreban oprez. Klasično rešenje: (3x-4)+(2x-3)=0 → 5x-7=0 → x=7/5.
1. (3x+5)/(4x+7) = (3x+5)/(5x+9)
2. (x-2)/(x+3) = (x-2)/(2x+1)
3. (x+4)(x+5) = (x+4)(x+6)
4. (2x-1)/(x+2) = (2x-1)/(3x-4)
5. 1/(x+1) + 1/(2x+3) = 0
6. 1/(3x-2) + 1/(4x-5) = 0
7. (x²+3x+2)/(x²+4x+3) = (x²+3x+2)/(x²+5x+6)
8. (x-5)/(2x+1) = (x-5)/(x+7)
9. (x+2)(x+8) = (x+2)(x+9)
10. 2/(x-1) + 3/(2x+1) = 0 (složenije – za napredne)
6. Ānurūpye Śūnyamanyat — Ako je jedan u proporciji, drugi je nula
Primena: Rešavanje sistema linearnih jednačina gde su koeficijenti proporcionalni. Jedna od varijabli se poništava.
📐 Primer 1: Sistem jednačina
Druga jednačina je 2× prva. Onda je rešenje beskonačno (prava kroz koordinatni početak). Sutra kaže: ako je jedna proporcionalna drugoj, “drugi” (slobodni član) je nula – ovde jeste nula.
📐 Primer 2: Sa slobodnim članovima
Druga je 2× prva. Sutra kaže: slobodni članovi su takodje u istoj proporciji (7 i 14 = 2×7), pa je sistem zavisan (beskonačno rešenja). Ako proporcija ne važi za slobodne članove, sistem je nemoguć.
📐 Primer 3: Nemoguć sistem
Koeficijenti su u proporciji 1:2, ali slobodni članovi 5 i 9 nisu u istoj proporciji (9 ≠ 2×5). → Nema rešenja.
1. x + 2y = 3 i 2x + 4y = 6
2. x + 2y = 3 i 2x + 4y = 7
3. 3x – y = 2 i 6x – 2y = 4
4. 5x + 7y = 10 i 10x + 14y = 20
5. 5x + 7y = 10 i 10x + 14y = 21
6. 2x – 3y = 5 i 4x – 6y = 10
7. 2x – 3y = 5 i 4x – 6y = 9
8. x + y = 1 i 3x + 3y = 3
9. x + y = 1 i 3x + 3y = 4
10. 4x + 5y = 8 i 8x + 10y = 16
7. Sankalana-vyavakalanābhyām — Sabiranjem i oduzimanjem
Primena: Faktorizacija, pronalaženje zajedničkih faktora, rešavanje sistema linearnih jednačina. Ponekad sabiranjem ili oduzimanjem dve jednačine dobijamo faktor koji možemo izdvojiti.
📐 Primer 1: Faktorizacija izraza
Zajednički faktor (x+2) izvlačimo: (x+2)[(x+3)+(x-3)] = (x+2)(2x) = 2x(x+2)
Ovo je direktna primena sutre.
📐 Primer 2: Rešavanje sistema
Sabiranjem: 2x = 6 → x = 3
Oduzimanjem: 2y = 4 → y = 2
📐 Primer 3: Složenija faktorizacija
Zajedničko (x+1)(x+2) → (x+1)(x+2)[(x+3)+(x+4)] = (x+1)(x+2)(2x+7)
1. (x+3)(x+5) + (x+3)(x-5)
2. (x-1)(x+4) + (x-1)(x+6)
3. (x+2)(x+7) + (x+2)(x-7)
4. (x+y)(x+2y) + (x+y)(x-2y)
5. (2x+1)(x+3) + (2x+1)(x-3)
6. (x+1)(x+2)(x+5) + (x+1)(x+2)(x+6)
7. (x-3)(x+4) + (x-3)(2x+1)
8. (x+5)(2x-1) + (x+5)(x+2)
9. (3x+2)(x+1) + (3x+2)(2x-3)
10. (x²+1)(x+2) + (x²+1)(x-2)
8. Pūrāpūrṇābhyām — Dopunjavanjem i potpunim
Primena: Brzo oduzimanje od 10, 100, 1000… računanje kusura, zaokruživanje.
📐 Primer 1: Oduzimanje od 1000
Vedska metoda (Sve od 9 i poslednje od 10):
357 → 3 (9-3=6), 5 (9-5=4), 7 (10-7=3) → 643
To je zapravo Nikhilam, ali Pūrāpūrṇābhyām to objašnjava kao “dopunjavanje do potpunog”.
📐 Primer 2: Oduzimanje od 10000
📐 Primer 3: Kusur u prodavnici
1. 100 – 48 = ?
2. 100 – 73 = ?
3. 1000 – 284 = ?
4. 1000 – 619 = ?
5. 10000 – 3456 = ?
6. 10000 – 7891 = ?
7. 100000 – 12345 = ?
8. 1000 – 999 = ?
9. 100 – 99 = ?
10. 10000 – 1 = ?
🔓 Rešenja vežbi za Sutre 5–8
Sutra 5: 1. x=-5/3, 2. x=2, 3. x=-4, 4. x=1/2, 5. x=-4/3, 6. x=7/5, 7. x=-1 ili x=-2 (pažljivo: izjednači brojioce), 8. x=5, 9. x=-2, 10. 2(2x+1)+3(x-1)=0 → 4x+2+3x-3=0 → 7x=1 → x=1/7
Sutra 6: 1. beskonačno, 2. nema rešenja, 3. beskonačno, 4. beskonačno, 5. nema rešenja, 6. beskonačno, 7. nema rešenja, 8. beskonačno, 9. nema rešenja, 10. beskonačno
Sutra 7: 1. 2x(x+3), 2. 2(x-1)(x+5), 3. 2x(x+2), 4. 2x(x+y), 5. 2x(2x+1), 6. (x+1)(x+2)(2x+11), 7. (x-3)(3x+5), 8. (x+5)(3x), 9. (3x+2)(3x-2), 10. 2x(x²+1)
Sutra 8: 1.52, 2.27, 3.716, 4.381, 5.6544, 6.2109, 7.87655, 8.1, 9.1, 10.9999